Нормальное распределение

Вырожденное рассредотачивание

Молвят, что случайная величина имеет вырожденное рассредотачивание в точке , и пишут: , если воспринимает единственное значение с вероятностью 1, т.е. . Функция рассредотачивания имеет вид:

Рассредотачивание Бернулли

Молвят, что случайная величина имеет рассредотачивание Бернулли с параметром , и пишут: , если воспринимает значения 1 и 0 с вероятностями и соответственно. Случайная величина с таким рассредотачиванием равна числу фурроров Нормальное распределение в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью фуррора : ни 1-го фуррора либо один фуррор. Таблица рассредотачивания имеет вид:

Функция рассредотачивания случайной величины такая:

Биномиальное рассредотачивание

Молвят, что случайная величина имеет биномиальное рассредотачивание с параметрами и , и пишут: , если воспринимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким рассредотачиванием имеет смысл числа Нормальное распределение фурроров в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью фуррора . Таблица рассредотачивания имеет вид:

Рассредотачивание Бернулли совпадает с рассредотачиванием .

Рассредотачивание Пуассона

Молвят, что случайная величина имеет рассредотачивание Пуассона с параметром , где , и пишут: , если воспринимает значения с вероятностями .

Геометрическое рассредотачивание

Молвят, что случайная величина имеет геометрическое рассредотачивание с параметром , и пишут , если Нормальное распределение воспринимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким рассредотачиванием имеет смысл номера первого удачного тесты в схеме Бернулли с вероятностью фуррора . Таблица рассредотачивания имеет вид:

Равномерное рассредотачивание

Молвят, что имеет равномерное рассредотачивание на отрезке , и пишут: , если плотность рассредотачивания постоянна на отрезке и равна нулю вне него:

Разумеется, что площадь Нормальное распределение под графиком этой функции равна единице и . Потому является плотностью рассредотачивания.

Случайная величина имеет смысл координаты точки, избранной наудачу на отрезке . Вычислим по определению 30 функцию рассредотачивания случайной величины :

Получим последующую непрерывную функцию рассредотачивания:

Показательное рассредотачивание

Молвят, что имеет показательное (экспоненциальное) рассредотачивание с параметром , и пишут: , если имеет последующую плотность рассредотачивания:

Функция Нормальное распределение рассредотачивания случайной величины непрерывна:

Показательное рассредотачивание является единственным полностью непрерывным рассредотачиванием, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического рассредотачивания).

Гамма-распределение

Молвят, что имеет гамма-распределение с параметрами , , и пишут: , если имеет последующую плотность рассредотачивания:

где неизменная рассчитывается из характеристики Нормальное распределение (f2) плотности так:

откуда . Тут через обозначен интеграл

именуемый гамма-функцией Эйлера(3); при целых положительных , . Подмена в интеграле Пуассона даст .

Показательное рассредотачивание — личный случай гамма-распределения: .

Обычное рассредотачивание

Молвят, что имеет обычное (гауссовское(1)) рассредотачивание с параметрами и , где , , и пишут: , если имеет последующую плотность рассредотачивания:

Убедимся, что является плотностью рассредотачивания. Потому что Нормальное распределение для всех , то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):

где через обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона(2))

Обычное рассредотачивание с параметрами и именуется стандартным обычным рассредотачиванием. Плотность стандартного обычного рассредотачивания равна .

Ввиду особенной роли обычного рассредотачивания в теории вероятностей (мы ещё узнаем о ней) существует даже особое обозначение для функции рассредотачивания обычного Нормальное распределение закона . Первообразная функции не может быть выражена через простые функции. Потому функцию можно записать только в виде интеграла:

Функция табулирована, т.е. её значения при разных вещественных вычислены. Их можно отыскать в соответственных таблицах.

  1. Характеристики обычного рассредотачивания (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).

Свойство 1.Для хоть Нормальное распределение какого справедливо соотношение:

Следствие 1.Если , то .

Следствие 2.Если , то

Свойство 2. ,

Свойство 3.Если , то для хоть какого

Свойство 4 (правило 3-х сигм).Если , то

.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Стандартное обычноерассредотачивание :

Математическое ожидание этого рассредотачивания существует в силу конечности :

Математическое ожидание равно

потому что под сходящимся интегралом стоит нечётная функция. Дальше,

Потому

Обычноерассредотачивание :

Если , то Нормальное распределение .

,

  1. Определения независимости случайных величин.

Определение 1.Случайные величины именуют независящими (в совокупы), если для хоть какого набора борелевских множеств , ..., имеет место равенство:

Определение 2.Случайные величины именуют попарно независящими, если независимы любые две из их.

Определение 3.Случайные величины независимы (в совокупы), если для всех имеет место равенство:

Определение 4.Случайные величины с Нормальное распределение дискретным рассредотачиванием независимы (в совокупы), если для всех чисел имеет место равенство:

Определение 5.Случайные величины с полностью непрерывным совместным рассредотачиванием независимы (в совокупы), если плотность совместного рассредотачивания равна произведению плотностей случайных величин , т.е. для всех имеет место равенство:

.

  1. Определение и характеристики математического ожидания.

Определение 1.Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом Нормальное распределение) случайной величины с дискретным рассредотачиванием, задаваемым таблицей , где , именуется число

если данный ряд полностью сходится, т.е. если . В неприятном случае молвят, что математическое ожидание не существует.

Определение 2.Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с полностью непрерывным рассредотачиванием с плотностью рассредотачивания именуется число

если этот интеграл полностью сходится, т.е Нормальное распределение. если

В неприятном случае математическое ожидание не существует.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Во всех свойствах подразумевается, что рассматриваемые математические ожидания есть.

1.

Для случайной борелевской функции

2.

Математическое ожидание неизменной равно ей самой: .

3.

Постоянную можно вынести за символ математического ожидания:

4.

Математическое ожидание суммы всех случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические Нормальное распределение ожидания есть:

5.

Если п.н., т.е. если , то .

6.

Если п.н., и при всем этом , то п.н., т.е. .

7.

Математическое ожидание произведения независящих случайных величин равно произведению их математических ожиданий: если и независимы и их математические ожидания есть, то

  1. Определение и характеристики дисперсии.

Дисперсия есть Нормальное распределение «среднее значение квадрата отличия случайной величины от собственного среднего». Поглядим, за что данная величина отвечает.

Пусть случайная величина воспринимает значения с равными вероятностями, а случайная величина — значения с равными вероятностями. Тогда , потому , . Молвят, что дисперсия охарактеризовывает степень разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Характеристики дисперсии следуют из соответственных параметров Нормальное распределение математического ожидания.

1.

Дисперсия может быть вычислена по формуле: .

2.

При умножении случайной величины на постоянную дисперсия возрастает в раз: .

3.

— Дисперсия всегда неотрицательна: .

— Дисперсия обращается в нуль только для вырожденного рассредотачивания: если , то п. н., и напротив.

4.

Дисперсия не находится в зависимости от сдвига случайной величины на постоянную: .

5.

Если и независимы, то Нормальное распределение дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: .

6.

Минимум среднеквадратического отличия случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от собственного математического ожидания: .

  1. Определение и характеристики коэффициента корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых есть и отличны от нуля, именуется число

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Коэффициент корреляции обладает качествами:

1)

если и Нормальное распределение независимы, то ;

2)

всегда ;

3)

и тогда только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. есть числа и такие, что .

[Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и значит «с вероятностью 1»]

  1. Определение сходимости по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышёва.

Молвят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной Нормальное распределение величине при , и пишут: , если для хоть какого

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(неравенство Маркова).Если , то для хоть какого

(обобщённое неравенство Чебышёва).Пусть функция не убывает и неотрицательна на . Если , то для хоть какого

  1. Закон огромных чисел в форме Чебышёва (с док-вом). Закон огромных чисел Бернулли.

Для хоть какой последовательности попарно независящих и Нормальное распределение идиентично распределённых случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:

Подтверждение.

Обозначим через сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания получим:

Пусть . Воспользуемся неравенством Чебышёва:

потому что . Заметим, что дисперсия суммы перевоплотился в сумму дисперсий в силу попарной независимости слагаемых, из-за которой все ковариации обратились в нуль Нормальное распределение при . Сумма же дисперсий слагаемых приравнивается из-за их схожей распределённости.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть событие может произойти в любом из независящих испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть — число воплощений действия в испытаниях. Тогда . При всем этом для хоть какого

  1. Определение сходимости по рассредотачиванию (слабенькой сходимости).

Пусть Нормальное распределение задана последовательность случайных величин , задано некое рассредотачивание с функцией рассредотачивания и пусть — случайная случайная величина, имеющая рассредотачивание .

Молвят, что последовательность случайных величин сходится слабо либо по рассредотачиванию к случайной величине и пишут: , если для хоть какого такового, что функция рассредотачивания непрерывна в точке , имеет место сходимость

при .

Итак, слабенькая сходимость — это Нормальное распределение сходимость функций рассредотачивания во всех точках непрерывности предельной функции рассредотачивания.

  1. Центральная предельная аксиома.

(ЦПТ Ляпунова).Пусть — независящие и идиентично распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Тогда имеет место слабенькая сходимость

последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному рассредотачиванию.


normativnaya-sistema-v-politicheskoj-organizacii-obshestva.html
normativnie-akti-i-materiali-sudebnoj-praktiki-praktikum-po-grazhdanskomu-pravu-dlya-studentov-dia-sostavitel-k-yu-n-docent.html
normativnie-akti-i-sudebnie-resheniya.html